Exibir código-fonte para Ferramentas Matemáticas para Computação Científica


 Palestra apresentada durante a 
 '''Semana Científica do Curso de Engenharia Elétrica'''
 Campus Itajaí - março de 2019
 
 Profa. Fernanda Argoud da Silva, M.Sc., Dr. Eng.


=Introdução=

O computador é uma ferramenta indispensável para o avanço da Ciência.

Apesar de ter que ser programado, é capaz de executar cálculos complexos e/ou repetitivos, em uma velocidade muito maior que qualquer ser humano e sem desgaste ou cansaço.

Porém, tem uma limitação muito severa:

<center> &rArr; MEMÓRIA </center>

[[image: FMCmemoria.png|center]]

Um cálculo como o da integral, por exemplo, seria impossível, porque nenhum computador teria memória suficiente para armazenar infinitos valores.

[[image: FMCintegr.png| center]]


A solução, então, é ''discreta'' e ''numérica''.

[[image: FMCintegralnumerica.png|center]]

Obviamente, a solução sempre será aproximada, jamais exata. 

É importante, então, estabelecer uma '''tolerância''', ou erro máximo admitido.

=Cálculo "humano" x Cálculo numérico=

Os algoritmos para cálculos científicos e matemáticos normalmente são específicos. 

NÃO são procedimentos de resolução analítica, ou "humana", adaptados à uma linguagem de programação. 

São procedimentos numéricos (iterativos) específicos, desenvolvidos com o objetivo de facilitar a resolução pelo computador e no menor tempo possível.

==Cálculo de derivada de função==

===Solução analítica===

A determinação analítica de uma derivada de função pode ser bastante complexa.

Tomemos como exemplo a resolução da derivada da função ''f(x) = x&sup2;'', no ponto ''x = 1''. Por definição, a derivada é o diferencial entre um ponto da função, e outro, localizado a uma distância ''h'' infinitesimal (tendendo a zero).
Portanto, será:

[[image: FMCderiv.png|center]]

Para uma função muito simples, como ''f(x) = x&sup2;'', são necessários vários cálculos literais, indefinidos e dois cálculos de limite.

Em computador, muitíssimo complicado ensinar a máquina a calcular "limites" tendendo a zero, ou a infinito.

Depois de se obter a correspondente função derivada, ainda é necessário calcular-se o valor desta, no ponto específico ''x = 1''.

===Solução numérica===




==Cálculo de raízes de equação==

'''Raízes de uma equação ''y = f(x)''''' &rarr; Quais são os valores de ''x'' que levam à equação ''y'' ao valor ZERO??

Em outras palavras: em que pontos de ''x'' a função atravessa o eixo ''y = 0''?


===Métodos "humanos" ou analíticos===

* '''''Bhaskara''''' &rArr; Baseado no uso dos coeficientes da equação:

[[image: FMCbhask.png|center]]


* Para equações de terceiro grau: 

''Seja a equação da forma a.x&sup3; + b.x&sup2; + c.x + d = a.(x - r1).(x - r2).(x - r3)''

[[image: FMCraiz3.png|center]]

Mais informações: [https://www.somatematica.com.br/emedio/polinomios/polinomios13.php Relações de Girardi]...

* Para equações de quarto grau:

...

===Método numérico - Bissecção ===

O '''método da bissecção''' é um método de busca de raízes que divide repetidamente um intervalo da função e então seleciona um subintervalo contendo a raiz para processamento adicional. 
Escolhe-se dois pontos extremos, ''a'' e ''b'', de preferência para os quais haja um inversão de polaridade da curva.
 
[[image: FMCbissec.png|center]]


[[image: FMCbissecanim.gif|center]]

é usado frequentemente para obter uma primeira aproximação de uma solução, a qual é então utilizada como ponto inicial para métodos que convergem mais rapidamente.

Trata-se de um método simples e robusto, relativamente lento quando comparado a métodos como o método de Newton ou o método das secantes.

PSEUDOCÓDIGO:

 ENTRADA: Função f, 
          extremos do intervalo a, b, 
          tolerância TOL, 
          número máximo de iterações NMAX
 CONDIÇÕES: a < b, ou f(a) < 0 e f(b) > 0 ou f(a) > 0 e f(b) < 0
 SAÍDA: valor que difere de uma raiz de f(x)=0 por menos do que TOL
 N ← 1
 Enquanto N ≤ NMAX # limita o número de iterações para prevenir um loop infinito
   c ← (a + b)/2 # novo ponto médio
   Se f(c) = 0 or (b – a)/2 < TOL então # solução encontrada
     Retorne(c)
     Pare
   Fim
   N ← N + 1 # incrementa o contador de iterações
   Se sinal(f(c)) = sinal(f(a)) então a ← c senão b ← c # novo intervalo
 Fim
 Retorne("O algoritmo falhou.") # núm. máximo de iterações excedido