Ferramentas Matemáticas para Computação Científica

Palestra apresentada durante a 
Semana Científica do Curso de Engenharia Elétrica
Campus Itajaí - março de 2019

Profa. Fernanda Argoud da Silva, M.Sc., Dr. Eng.

Introdução

O computador é uma ferramenta indispensável para o avanço da Ciência.

Apesar de ter que ser programado, é capaz de executar cálculos complexos e/ou repetitivos, em uma velocidade muito maior que qualquer ser humano e sem desgaste ou cansaço.

Porém, tem uma limitação muito severa:

⇒ MEMÓRIA

Um cálculo como o da integral, por exemplo, seria impossível, porque nenhum computador teria memória suficiente para armazenar infinitos valores.

A solução, então, é discreta e numérica.

Cálculo "humano" x Cálculo numérico

Os algoritmos para cálculos científicos e matemáticos normalmente são específicos.

NÃO são procedimentos de resolução "humana" adaptados à uma linguagem de programação.

Cálculo de raízes de equação

Raízes de uma equação y = f(x) → Quais são os valores de x que levam à equação y ao valor ZERO??

Em outras palavras: em que pontos de x a função atravessa o eixo y = 0?

Métodos "humanos"

• Bhaskara ⇒ Baseado no uso dos coeficientes da equação:

• Para equações de terceiro grau:

Seja a equação da forma a.x³ + b.x² + c.x + d = a.(x - r1).(x - r2).(x - r3)

Mais informações: Relações de Girardi...

• Para equações de quarto grau:

...

Método numérico - Bissecção

O método da bissecção é um método de busca de raízes que divide repetidamente um intervalo da função e então seleciona um subintervalo contendo a raiz para processamento adicional. Escolhe-se dois pontos extremos, a e b, de preferência para os quais haja um inversão de polaridade da curva.

é usado frequentemente para obter uma primeira aproximação de uma solução, a qual é então utilizada como ponto inicial para métodos que convergem mais rapidamente.

Trata-se de um método simples e robusto, relativamente lento quando comparado a métodos como o método de Newton ou o método das secantes.

PSEUDOCÓDIGO:

ENTRADA: Função f, 
         extremos do intervalo a, b, 
         tolerância TOL, 
         número máximo de iterações NMAX
CONDIÇÕES: a < b, ou f(a) < 0 e f(b) > 0 ou f(a) > 0 e f(b) < 0
SAÍDA: valor que difere de uma raiz de f(x)=0 por menos do que TOL
N ← 1
Enquanto N ≤ NMAX # limita o número de iterações para prevenir um loop infinito
  c ← (a + b)/2 # novo ponto médio
  Se f(c) = 0 or (b – a)/2 < TOL então # solução encontrada
    Retorne(c)
    Pare
  Fim
  N ← N + 1 # incrementa o contador de iterações
  Se sinal(f(c)) = sinal(f(a)) então a ← c senão b ← c # novo intervalo
Fim
Retorne("O algoritmo falhou.") # núm. máximo de iterações excedido