AULA 10 - Circuitos 2 - Engenharia
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Teoremas de Rede em circuitos CA em regime permanente
Baseado no curso de Circuitos Elétricos I, Prof. Renato Baldini Fo., do Departamento de Comunicações Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação, Universidade Estadual de Campinas. Disponível em: [http://www.decom.fee.unicamp.br/~baldini/EA513.htm]
Superposição
Seja o circuito série abaixo.
A Relação tensão-corrente será dada por:
onde Zt é a impedância total do circuito série, vista através dos terminais da fonte, isto é:
Assim, a diferença entre circuitos resistivos e fasoriais, é que no segundo, tanto as excitações quanto as respostas são complexas.
Os próximos exemplos comprovam que os métodos de análise nodal e de malhas também podem ser utilizados em circuitos fasoriais.
Exemplo 1:
Seja o circuito acima, alimentado por sinal cossenoidal com ω = 2.
Na forma fasorial, o circuito será reescrito como:
onde:
Assim como seria feito num circuito puramente resistivo, pode-se simplificar o circuito calculando as impedâncias equivalentes dos paralelos:
Também como é feito em circuitos resistivos puros, arbitra-se tensões em cada um dos nós e faz-se o somatório das correntes nestes nós, na forma V/Z, quais sejam:
e resolve-se estas equações.
A solução através de determinantes seria:
Assim como na análise resistiva, uma melhor abordagem seria resolver o circuito por meio de suas admitâncias Y = 1/Z.
As equações nodais para soma de correntes tornam-se da forma Y.V:
e
Portanto, substituindo-se I em II:
Agora, calculando V2, pela substituição de (III) em (II):
Exemplo 2:
Na forma fasorial e já simplificado com as impedâncias resultantes dos paralelos, o circuito será reescrito como:
Assim como seria feito num circuito puramente resistivo, substitui-se a fonte dependente por um super-nó:
as equações nodais e a solução serão:
Análise de Malhas
Assim como num circuito resistivo puro, a análise de malhas pode ser aplicada em um circuito fasorial, simplesmente substituindo as indutâncias e capacitâncias por reatâncias e as tensões e correntes senoidais, por seus respectivos fasores.
Exemplo 3:
Seja o circuito abaixo:
Arbitra-se as correntes I1, I2 e I3 nas malhas:
A corrente na terceira malha será dada pelo valor da fonte de corrente de 5A.
As equações das tensões nas malhas, da forma Z.I serão dadas por:
e
Igualando ambas as equações:
Exemplo 4:
Seja o circuito abaixo, contendo fontes de corrente, dependentes e independentes:
Arbitra-se as correntes I1, I2 e I3 nas malhas:
Exercícios
1) Calcule a tensão de saída Vo utilizando análise nodal, no circuito CA em regime permanente abaixo:
Resposta: V0 = 15.8<18.43
2) Calcule a tensão Vo utilizando análise de malhas, no circuito CA em regime permanente abaixo:
Resposta: Solução
3)
Resposta: vf =10cos(3t −90°) =10sen(3t)
4)
Resposta: v = = 24sen(4t) [V]
5)
Resposta: v = 2.82. cos(4t −135º) [V]
Outras técnicas
Além das análises sistemáticas de malhas e de nós, as técnicas básicas de análise de circuitos também podem ser aplicadas a circuitos CA fasoriais, em regime permanente, ou forçado:
Análise de Kirchoff
A análise de Kirchoff consiste em:
- identifica-se os N nós do circuito,
- identifica-se as M malhas internas do circuito,
- atribui-se uma corrente a cada ramo do mesmo,
- calcular-se o somatório destas correntes em cada um dos nós e
- calcular-se o somatório das tensões em cada malha.
Ou seja, cada circuito irá gerar (N + M) equações, menos (O + P), onde O é o número de correntes conhecidas e P, o número de tensões nos ramos conhecidas.
Exemplo:
Analise o circuito abaixo agora utilizando análise de Kirchoff:
As 2 equações de malha mais a equação do nó A tornam-se:
Na forma matricial - Z.I = V:
Resolvendo a equação acima da forma I = inversa(Z)*V obtém-se as correntes:
Mais informações: Análise de Kirchoff
Teorema de Millmann da substituição de fontes
A generalização do teorema de Millman é consequência da validade da transformação de fonte no regime forçado sinusoidal.
Como a Figura abaixo mostra, a aplicação sucessiva da transformação de fonte permite associar e simplificar tanto a associação em paralelo de fontes de tensão não ideais, como a associação em série de fontes de corrente.
A informação contida nas figuras é suficiente para constatar a igualdade na forma entre o teorema de Millman em notação fasorial e no domínio do tempo.
Exemplo:
Analise o circuito abaixo agora utilizando substituição de fontes:
As fontes de corrente podem ser somadas diretamente, assim como as impedâncias em paralelo.
O circuito fica reduzido a:
e, V0, portanto, poderá ser calculado por 4<-36,87 x 12 Ω = 48<-36,87 !!!
Teorema do deslocamento de fontes
Algumas vezes é interessante transformar uma fonte independente em muitas outras, pois isto pode simplificar a análise do restante do circuito.
Quando isto é feito chamamos de explosão, transformação (pode ser usado com outro significado) ou deslocamento de fontes.
Uma fonte de tensão independente que tenha um de seus terminais ligados a mais de um elemento de circuito pode ser desmembrada removendo este nó, desde que cada elemento permaneça interligado em série com uma fonte de tensão de mesmo valor e polaridade.
A figura a seguir ilustra o fato.
Do ponto de vista do resto do circuito as formas de onda de tensão e corrente nos terminais A, B e C
permanecem inalteradas.
Exercícios
Resolva os circuitos anteriores pelos métodos de análise de Kirchoff, substituição de fontes e deslocamento de fontes.
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