AULA 11 - Eletricidade Básica - FIC

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METODOLOGIA

  • Exposição dialogada dos conteúdos disponíveis, em projetor multimídia.
  • Navegação assistida em outros sites e portais, de conteúdos relacionados.
  • Montagens práticas e desenvolvimento em computador de aplicativos.
  • Testes de verificação e validação.



Análise Nodal Generalizada

Assim como no caso da Análise de Malhas, a Análise Nodal Generalizada é um método sistemático que permite analisar qualquer circuito, através das suas tensões de nós.

É mais apropriado para análise de circuitos com poucos nós e com fontes de corrente, ao invés de fontes de tensão!


O método consiste nos seguintes passos:


.

  1. Selecione um nó como referência e "aterre-o". O ideal é sempre escolher o nó com maior número de ramos conectados, porque isto diminui o número de equações no final
  2. Atribua tensões V1, V2, … , Vn-1 aos n – 1 nós restantes. Todas as tensões são medidas em relação ao nó de referência;
  3. Transforme as resistências R em condutâncias G=1/R;
  4. Aplique a LKC a cada um dos n – 1 nós que não são o de referência. Para expressar as correntes nos ramos, em termos de tensões nodais, adicione o termo (Vi - Vj).Gij para cada ramo, onde 'i' é o nó atual; e 'j' é o nó adjacente ao ramo.
  5. Para cada fonte de corrente do nó, adicione-a à equação, segundo a convenção:
    1. corrente da fonte entrando no nó - sinal negativo
    2. corrente da fonte saindo do nó - sinal positivo
  6. Se houver fontes de tensão, esta vai fornecer um valor de tensão no nó, diretamente. Se necessário, arbitre uma corrente passando por esta tensão.
  7. Resolva o sistema de equações, para obter as tensões nodais.
  8. Determine as correntes de interesse.


 * Você pode escolher o sentido horário, ou antihorário, porque, caso o sentido inicial tenha sido arbitrado errado, o sinal da corrente resultará em negativo, indicando que o sentido é o inverso. PORÉM, é extremamente recomendável que o sentido arbitrado para TODAS AS CORRENTES seja O MESMO: ou horário, ou anti-horário, sob pena de duas correntes terem seus sentidos arbitrados errado, e o erro de uma anular o erro da outra.

Exemplo 1: Análise Nodal - circuito 1

Analnodal1.png


1) Selecione um nó como referência.

2) Atribua tensões v1, v2, … , vn–1 aos n – 1 nós.

Analnodal2.png


3) Transforme as resistências em condutâncias:

Analnodal3.png

4) Aplique a LKC a cada um dos n – 1 nós.

4.1) Nó 1:

-5 + 0,25.(V1 - V2) + 0,5.(V1 - 0) = 0

0,75.V1 - 0,25.V2 = 5

4.2) Nó 2:

+5 + 0,25.(V2 - V1) + 0,1667.(V2 - 0) -10 = 0

-0,25.V1 + 0,416667.V2 = 5

5) Resolva o sistema de equações, para obter as tensões nodais. 

 0,75.V1 - 0,25.V2 = 5
-0,25.V1 + 0,416667.V2 = 5

Multiplicando a segunda equação por 3:

0,75.V1 - 0,25.V2 = 5 -0,75.V1 + 1,25.V2 = 15

0 +1.V2 = 20 

→ V2 = 20 V

E, portanto:

0,75.V1 - 0,25.20 = 5

0,75.V1 - 5 = 5

0,75.V1 = 10 

→ V1 = 13,33 V

Exemplo 2: Análise Nodal - circuito 2

Analnodal4.png

Este circuito contém quatro nós, duas malhas e duas fontes de tensão, então, a análise se dará como segue:

1) Selecione um nó como referência.

2) Atribua tensões aos n – 1 nós.

Analnodal5.png


3) Transforme as resistências em condutâncias:

Analnodal6.png

4) Aplique a LKC a cada um dos n – 1 nós.

4.1) Nó A:

0,2.(Ea - Eb) + 0,05.(Ea - 0) + 0,1.(Ea - Ec) = 0

, mas Eb = 20 V e Ec = 10 V!

Então:

0,2.(Ea - 20) + 0,05.Ea + 0,1.(Ea - 10) = 0

0,2.Ea - 4 + 0,05.Ea + 0,1.Ea - 1 = 0

0,35.Ea = 5 

→ Ea = 14,28 V

Exemplo 3: Análise Nodal - circuito 3

Analnodal7.png

Este circuito contém cinco nós, e é alimentado por uma fonte de corrente de 1 A, então, a análise se dará como segue:

1) Arbitre um nó de referência e tensões em cada um dos outros nós:

Analnodal7-1.png


2) Transforme as resistências em condutâncias:


Analnodal7-2.png


3) Para cada um dos nós, compute as correntes que chegam e saem do mesmo, por meio da Lei de Ohm:

3.1) Nó A:

0,2.Va + 1.(Va - Vc) + 1 + 0,5.(Va - Vb) = 0

0,2.Va + 1.Va - 1.Vc + 1 + 0,5.Va - 0,5.Vb = 0

1,7.Va - 0,5.Vb - 1.Vc = -1 (Equação I)


3.2) Nó B:

-1 + 0,1666.Vb + 0,5.(Vb - Va) + 0,3333.(Vb - Vd) = 0

0,1666.Vb + 0,5.Vb - 0,5.Va + 0,3333.Vb - 0,3333.Vd = 1

-0,5.Va + 1.Vb - 0,333.Vd = 1 (Equação II)


3.3) Nó C:

1.(Vc - Va)+ 0,125.Vc + 0,25.(Vc - Vd) = 0

-1.Va + 1,375.Vc - 0,25.Vd = 0 (Equação III)


3.4) Nó D:

0,333.(Vd - Vb) + 0,1428.Vd + 0,25.(Vc - Vc) = 0

-0,3333.Vb - 0,25.Vc + 0,7261.Vd = 0 (Equação IV)


3)Resolva o sistema de equações 

(I)   1,7.Va - 0,5.Vb - 1.Vc  = -1 
(II)  -0,5.Va + 1.Vb - 0,333.Vd  = 1
(III) -1.Va + 1,375.Vc - 0,25.Vd = 0
(IV)  -0,3333.Vb - 0,25.Vc + 0,7261.Vd  = 0

Análise Nodal Computacional

Todos os sistemas de equações que resolvemos até agora podem ser organizados como MATRIZES, o que permite análise computacional.

Note que todos os sistemas de equações em análise nodal tomam a seguinte forma: 

 +G11.V1 - G12.V2 - G13.V3 - G14.V4  ... - G1n.Vn = Ix
 -G21.V1 + G22.V2 - G23.V3 - G24.V4  ... - G2n.Vn = Iy
 ...
 -Gn1.V1 - Gn2.V2 - Gn3.V3 - Gn4.V4  ... + Gnn.Vn = Iw

onde Gii é a soma das condutâncias do nó i (também chamada de condutância própria do nó) e Gij é a condutância entre os nós i e j (ou condutância mútua a i e a j).


Todas estas equações podem ser separadas como: 

 | +G11  -G12  -G13  -G14  ... -G1n  |     | V1 |             | Ix |
 | -G21  +G22  -G23  -G24  ... -G2n  |     | V2 |             | Iy |
 |   ...                             | .   |... |    =        | ...|  
 | -Gn1  -Gn2  -Gn3  -Gn4  ... +Gnn  |     | Vn |             | Iw |

ou 

  G . V = I

onde:

  • G é a matriz de condutâncias, de ordem nxn do circuito, onde n é o número de nós, menos um, o de referência;
  • I é a matriz de tensões arbitradas nos nós, de ordem nx1, e
  • V é a matriz de fontes de correntes nos nós, também de ordem nx1.


As condutâncias Gii da diagonal principal da matriz sempre têm valor positivo, e as mútuas Gij (devido à diferença de tensão - ddp, entre os nós), sempre entram com valor negativo.

Além disto, a matriz de condutâncias G é sempre uma matriz quadrada e simétrica. Esta matriz também, normalmente, é esparsa, o que torna sua análise ainda mais fácil.


Assim como na Análise de Malhas computacional, no Matlab ou Scilab, o qual é gratuito, ou mesmo à uma planilha de cálculo, como Excel, você pode resolver o sistema de equações usando inversão e multiplicação de matrizes.

Todo cálculo se limitará a executar à seguinte operação matricial: 

V = I/G = (G)-1 x I

Assim, para resolver o sistema, deve-se seguir os seguintes passos:

  1. Digitar a matriz G;
  2. Inverter a matriz G, criando Ginv;
  3. Digitar a matriz I;
  4. Executar a multiplicação de Ginv por I, para obter a matriz V

No caso deste circuito:

Sistmatrix1.png

Note que a matriz de condutâncias G (ou de resistências, R, no caso da análise de malhas) é sempre uma matriz quadrada e simétrica, de ordem n x n, onde n é o número de tensões de nó (ou de correntes, na análise de malhas).

A diagonal principal desta matriz é a soma de todas as condutâncias ligadas ao nó. As outras posições são as respectivas condutâncias que unem aquele nó, aos adjacentes, com sinal negativo.

A matriz de tensões nos nós V (ou de correntes I de malha, como no caso da análise de malhas) é sempre uma matriz coluna, de ordem n x 1.


E a matriz de fontes de corrente (ou de tensão de malha, como no caso da análise de malhas) também é uma matriz coluna, de ordem n x 1.

Se você tiver acesso a algum aplicativo de cálculo, como Matlab ou Scilab, o qual é gratuito, ou mesmo à uma planilha de cálculo, como Excel, você pode resolver o sistema de equações de uma maneira MUITO mais fácil!

Usando inversão de matriz, todo cálculo se limitará a executar a seguinte operação matricial: 

V = I/G = (G)-1 x I

Assim, para resolver o sistema, deve-se seguir os seguintes passos:

  1. Digitar a matriz G;
  2. Digitar a matriz I;
  3. Inverter a matriz G, criando Gt;
  4. Executar a multiplicação de G por I

Para este circuito, fizemos o cálculo utilizando o Scilab, desta forma:

Sistmatrix2.png
Sistmatrix3.png

Exemplo 2 de análise computacional

Seja o circuito abaixo, com a respectiva matriz de Condutância G:

Sistmatrix4.png

No Scilab:


Sistmatrix4-1.png


Sistmatrix4-2.png


Sistmatrix4-3.png


Sistmatrix4-4.png

Fontes Bibliográficas

COMISSÃO TRIPARTITE PERMANENTE DE NEGOCIAÇÃO DO SETOR ELÉTRICO NO ESTADO DE SÃO PAULO - CPN. Eletricidade Básica - Manual de treinamento curso básico segurança em instalações e serviços com eletricidade - NR 10 . Disponível em: https://portalidea.com.br/cursos/9f2909192195f210d6c6fa89c0894301.pdf

Lemes, Andryos da Silva. APOSTILA DE ELETRICIDADE BÁSICA. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO, IFSP - CAMPUS DE PRESIDENTE EPITÁCIO. Disponível em:https://pt.scribd.com/document/280039386/Apostila-Eletricidade-Basica

ROCHA, Helder da. Introdução à Eletrônica para Artistas. Apostila de curso livre. 2017. Disponível em: http://www.argonavis.com.br/cursos/eletronica/IntroducaoEletronicaArtistas.pdf.

SAMBAQUI, ANA BARBARA KNOLSEISEN; TAQUES, BÁRBARA OGLIARI. Apostila de Eletricidade. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO - IFSC - CAMPUS JOINVILLE. Joinville, agosto, 2010. Disponível em: http://wiki.itajai.ifsc.edu.br/images/c/c1/Apostila_de_Eletricidade_IFSC_JOINVILE.pdf

Souza, Giovani Batista. ELETRICIDADE. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO - IFSC - CAMPUS ARARANGUÁ. Edição: fev, 2009. Disponível em: https://wiki.sj.ifsc.edu.br/images/e/e6/Aru-2009-Agosto-eletricidade_basica.pdf


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