AULA 2 - Eletrônica Digital 1 - Graduação

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Origem dos Sistemas de Numeração

Já nos tempos remotos, o ser humano sentia a necessidade de quantificar coisas, fossem cabeças de um rebanho, número de inimigos ou qualquer outra informação contável.

Todos os seres vivos possuem, de uma maneira ou de outra, a faculdade de comparar, seja ela qualitativa ou quantitativa, e são capazes de avaliar quantidades através de misteriosas sensações de suficiência e qualidades, mediante peculiares raízes instintivas de raciocínio.

No ser humano, particularmente, estas faculdades se desenvolveram de maneira acentuada.

Diante desta necessidade, o homem desenvolveu métodos requintados de quantificação.

Com o advento da socialização do ser humano, surgiram sistemas de contagem em planos abstratos, onde já não se dependia da presença física das coisas a serem quantificadas.

Provavelmente, o primeiro sistema a surgir foi o sistema unitário, o sistema baseado em um só dígito.

Provavelmente um antigo pastor de ovelhas Neanderthal recorria a desenhos para saber se nenhuma cabeça havia se extraviado. Utilizava como algarismos o desenho do quadrúpede e comparava a quantidade de desenhos com a quantidade de ovelhas.

Mais tarde passou a utilizar outro símbolo, pontos por exemplo, p/ designar uma ovelha.

Nascia aí, a partir da representação concreta, a representação abstrata e com estas, novos horizontes da matemática.

A partir disto, o homem atribuiu símbolos a quantidades maiores, como por exemplo,

.    = 1 (um ponto é igual a uma unidade);
..   = 2 (dois pontos igual à quantidade dois); 
...  = 3 (três pontos igual à quantidade três). 

Se o homem não tivesse feito isso, hoje escreveríamos o n° 5 como “.....” (cinco pontos) ou “11111”.

Os babilônios utilizavam grupos de luazinhas para representar grandezas de 0 a 9.

Os egípcios tinham um, dois e três sinais iguais p/ as grandezas 1, 2 e 3 e um sinal diferente para as grandezas de 4 a 9.

os romanos utilizavam sinais I, V, X, C, L, M.

Estes sistemas necessitavam de outros símbolos para quantidades ainda maiores (bilhões, trilhões, etc).

Presume-se que foram os indianos que primeiramente observaram que, adotando-se uma pequena coleção de símbolos ( 9 no caso), a posição de um símbolo em relação a outro bastaria para indicar grandezas maiores que o número de símbolos.

A idéia foi adotada e propagada pelos árabes, que denominaram símbolos de algarismos ( em homenagem ao famoso matemático Al-Khowârizmê).

Também foram os inventores do zero, símbolo indispensável ao sistema de numeração por ordens (também chamado de sistema de quantificação por notação posicional).

Curiosamente , os árabes não utilizaram sua própria invenção. Foram eles que inventaram os signos ou símbolos (desenhos que representam as quantidades de 0 a 9) que atualmente todo o mundo ocidental usa, enquanto eles, seus inventores, não o utilizam.

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Nos sistemas de numeração que adotam o conceito de ordem, temos a primeira ordem representando as unidades com cada unidade representada por um símbolo diferente e em seguida, outras ordens (unitária, dezena, centena, decimal, centesimal etc).

Todos eles foram inventados baseados em 2 conveniências:

• a) haver poucos símbolos p/ memorização e
• b) possibilitar a representação de quantidades muito grandes.

Sistema decimal

A ordem das unidades contém 10 símbolos, 10 algarismos ( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,), representando as dez grandezas peculiares a este sistema.

O número dez (10), formada por dois dos símbolos da ordem unitária, inaugura uma segunda ordem, a das dezenas; o 100 inaugura a 3°ordem, a das centenas e assim por diante.

Ainda uma especulação. Muito provavelmente foi o fato de termos 10 dedos nas mãos que influenciou a escolha de nossa espécie pelo sistema decimal, o que pode, sob certos aspectos, ser considerado como um fato infeliz, pois o sistema decimal não é, em absoluto, o melhor de todos. O sistema de base 12 seria muito mais vantajoso devido ao menor número de divisões quebradas que resulta.

Vídeo-aula sobre Sistema Decimal

Notação Posicional

A posição que um algarismo ocupa em relação aos demais e a base do sistema em questão nos fornece todos subsídios necessários para o entendimento e representação de uma grandeza ou quantidade. Todos os sistemas de numeração conhecidos têm uma notação definida, igual para várias bases, que torna possível a identificação de qualquer número baseado somente nos algarismos adotados pela base e nas posições que ocupam entre si.

Exemplo 2:

Outro exemplo: no número 1962 temos o algarismo um (1) na posição que indica milhares, o 9 na posição indicativa de centenas, o 6 na de dezenas e o 2 na posição de unidades.

Assim sabemos que o n°1962 é igual a:

1x1000 + 9x100 + 6x10 + 2x1 =  1000 + 900 + 60 + 2 = 1962.

Podemos escrever ainda, usando uma outra forma de representar a mesma coisa, que 1962 é igual a:

1x10³+ 9x10²+ 6x10¹+2x10° 

pois 1000 = 10³; 100 = 10²; 10 =10¹ e 1=10°.

O no 1962 está escrito na base dez, i.e., no sistema decimal.

Mas, a rigor, podemos generalizar para qualquer base:

Seja “b” a base de representação de um número e A, B, C, D, ... os símbolos dos algarismos deste sistema, então o número DCBA na base “b”, escrito convencionalmente como EDCBAb representa a grandeza:

D.b³ + C.b² + B.b¹+ A.b° .

Veja o exemplo.

123456= 1x10^5 + 2x10^4+ 3x10^3+ 4x10^2 + 5x10^1 + 6x10^0
= 100000 + 20000 + 3000 + 400 + 50 + 6

Onde, leia-se que x^y significa número x elevado à y-ésima potência".

0 mesmo “número”, numa base hipotética 5, representaria uma quantidade ou grandeza diferente:

= 1x5^5 + 2x5^4+ 3x5^3+ 4x5^2 + 5x5^1 + 6x5^0 
= 1x3125 + 2x625 + 3x125 + 4x25 + 5x5 + 6x1 
= 3125 + 1250 + 375 + 100 + 25 + 6
= 4.881 (diferente de 123.456)

Para representarmos a grandeza 123456 na base 5, precisaríamos do número 12422301, pois:

= 1 x 5^7 + 2 x 5^6 + 4 x 5^5 + 2 x 5^4 + 2 x 5^3 + 3 x 5^2 + 1 x 5^1 + 1 x 5^0 
= 1 x 78125 + 2 x 15625 + 4 x 3125 + 2 x 625 + 2 x 125 + 3 x 25 + 1 x 5 + 1 x 1
= 78125 + 31250 + 12500 + 1250 + 250 + 75 + 5 + 1
= 123456 d

O processo para a determinação deste número, isto é, a determinação de um número decimal em um número correspondente, em outra base, será tratado mais adiante.

Para entender mais: Sistema decimal de numeração - Wikipedia

Sistema Binário

Os atuais computadores processam suas operações em um sistema diferente do decimal, o sistema binário.

Enquanto no sistema DECimal temos 10 algarismos que representam valores, quais sejam:

• 0 – representando nada
• 1 – representando uma unidade de algo : .
• 2 – representando duas unidades de algo : . .
• 3 – representando três unidades de algo : . . .

...

• 9 – representando nove unidades de algo : . . . . . . . . .

o sistema BInário, como o nome já diz, só tem DOIS ALGARISMOS, apenas dois símbolos para representar quantidades.

Estes algarismos, os quais geralmente são representados pelos símbolos 0 e 1, correspondem a qualquer conjunto dual, como por exemplo:

• não e sim;
• falso e verdadeiro;
• desligado e ligado;
• negativo e positivo, etc.

Nos circuitos lógicos, 0 e 1 representam, respectivamente, níveis de tensão baixo e alto ou estados de saturação e corte de transistores.

Cada dígito binário (em inglês, binary digit) é chamado de bit.

Daí, uma outra designação comum: L e H ( Low e High levels, do inglês: baixo e alto níveis de tensão).

Exemplo:

Na base 2, o número decimal 11 (e grandeza ou quantidade 11 = 10 + 1) é representado pelo número binário 1011.

Diz-se que:

11d = 1011b

, onde d vem de sistema decimal e b, vem de sistema binário.

Vê-se que na base 2 foram necessários 4 algarismos binários para representar a grandeza 11, que no sistema decimal é representado por apenas dois sinais/algarismos.

Lembre-se também que o número na base 5 tinha muito mais algarismos que o mesmo número na base 10.

A explicação é simples.

Na primeira posição do sistema decimal (casa das unidades) podemos representar 10 grandezas (0 a 9), ao passo que na posição correspondente do sistema binário só podemos representar duas (0 e 1).

Cada casa decimal (que representa potências de 10) também equivale a mais de três casas binárias (que representa potências de 2).

Por estas razões, números em bases menores precisam de muito mais algarismos pra representar a mesma quantidade, que números em bases maiores.

Além disto, se acrescentarmos uma unidade à maior grandeza, da posição de casas decimais, a primeira ordem (ou posição) volta à grandeza menor e a próxima ordem é incrementada de uma unidade.

Exemplo:

19 + 1 = 20

Este é todo o segredo que envolve a passagem do no 9 p/ 1010.

O 9 volta para o zero (menor quantidade) e a posição das dezenas (anteriormente neste caso ocupada pelo algarismo zero, que não precisamos representar) é incrementada para 1, fornecendo o número 10.

Exemplos:

Descubra os próximos números para: a) 1234, na base 5; b) 1234, na base 6; c) 12, na base 3 ; d)12, na base 10 e e)19, na base 10

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( Respostas: a)1240 b)1235 c)20 d)13 e)20, nas respectivas bases )

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Os iaques caçados seriam representados no sistema binário assim:

Valores representáveis

Como o sistema binário só tem dois algarismos, na 1° ordem podemos representar 2 valores:

0 e 1

Se utilizarmos a primeira e Segunda ordens, podemos representar até 4 grandezas:

00, 01, 10 e 11.

Com as 3 primeiras posições ou ordens, podemos representar até 8 grandezas:

000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111

e assim por diante.

Note a relação:

2^(n° da ordem) = número de valores representáveis

Exemplo:

Com um número binário de 10 posições ou ordens podemos representar até:

2¹° = 1024 grandezas (da grandeza zero até a grandeza 1023)

, ao passo que dez posições no sistema decimal representariam:

10¹°= 10.000.000.000 ou dez bilhões de grandezas diferentes.

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O sistema binário é usado em computadores devido à maior facilidade de se manipular eletronicamente somente duas grandezas, pela maior imunidade a ruídos e interferências.

No caso dos computadores e quaisquer outros dispositivos que utilizem circuitos eletrônicos digitais, precisamos ter somente “tensão presente” ou “tensão nula”, ou corte e saturação de transistores, para gerar os dois estados que correspondem aos bits 0 e 1.

Para saber mais: Eletrônica Digital - Wikipédia em inglês

Sistema Octal

Como já diz o nome, é o sistema de base 8 e, consequentemente, contém 8 algarismos (0,1,2,3,4,5,6 e 7).

É utilizado por ser um sistema que tem relação direta com o sistema binário.

Veremos esta relação quando tratarmos de transformação entre bases.

Neste sistema, a grandeza 8 é representada por 10, pois:

1x8¹ + 0x8°= 8+0

Para saber mais: [Sistema octal - Wikipédia em Inglês]

Sistema Hexadecimal

Do hexa=6 e deci=10, sistema numérico de base 16.

Tem 16 algarismos que são:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.

A,B,C,D, E, e F fazem o papel das grandezas 10,11,12,13,14,15.

Usamos as letras maiúsculas pela necessidade de termos que representar cada uma destas grandezas com um único algarismo.

O sistema Hexadecimal é um sistema muito utilizado em computadores, pois permite uma leitura mais fácil, em comparação com os números binários.

Neste sistema, a grandeza 16 é representada por 10H, pois 1x16¹ + 0x16° = 16 + 0 = 16.

Ex: que grandeza representa o número 1ACh ?

Solução:

= 1 x 16² + A x 16¹ + C x 16°
= 1 x 16² + 10x 16¹ + 12x 16°

, uma vez que A e C representam 10 e 12 respectivamente

= 256 + 160 + 12 = 428 = 428d

Neste ponto, é conveniente perceber a diferença entre a grandeza 428 e a representação decimal da mesma, 428d.

A primeira representa uma quantidade de objetos ou coisas, enquanto a segunda é somente uma forma de representação daquela quantidade.

Um exemplo mais simples:

Temos três ovelhas num pasto.

A grandeza é 3 (que representa a quantidade de objetos-ovelha) é representada pelos números 3d, 11b 3o e 3h;

nos sistemas decimal, binário, octal e hexadecimal, respectivamente.

Para saber mais: [Sistema Hexadecimal - Wikipédia em Inglês]

RESUMO DE SISTEMAS NUMÉRICOS

Sistemas de numeração

Sistema	Base	Algarismos	Maior representação na 1a. ordem
decimal	10	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9	9
binário	2	0,1	1
octal	8	0,1,2,3,4,5,6,7	7
hexadecimal	16	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F	15 ou F

Tabela de conversão direta:

Conversão entre Bases: Decimal, binária, octal, hexadecimal:

Conversão de Decimal → Binária

Técnica usual de transformação: Parte inteira

Para converter um número decimal inteiro em um número de base “b”, basta executar sua divisão aproximada por “b”, sucessivamente até que o enésimo dividendo não possa mais ser dividido por b, é ler os restos de trás para diante.

Veja o exemplo:

91d → Xb                                 

Onde q, b e r são inteiros e N é a parte inteira do número decimal

91 ∠ 2
   1 45 ∠2
      1  22 ∠2
           0 11 ∠2
                1 5 ∠2
                  1  2 ∠2
                     0  1 
                   

Xb = 1011011b

No exemplo, o divisor é sempre a base para a qual se quer converter o número decimal; o último quociente inteiro passa a ser dividendo da próxima divisão. O processo continua até que o dividendo seja menor que o divisor ( a base), quando então passa a ser o último “resto”.

Outros exemplos

Parte Fracionária

O processo é diferente para a parte fracionária. Tomemos a seguinte exemplo:

91,6d → Xb

A parte inteira do número é convertida conforme o processo já demonstrado e obtemos o n° 1011011b.

A parte fracionária, 0,6 , é convertida da seguinte maneira:

Multiplica-se a parte fracionária (multiplicando) pela base “b” (multiplicador), neste caso o 2, e separa-se a parte inteira do produto. O resultado obtido da subtração da parte inteira do produto passa a ser o próximo multiplicando. Faz-se sucessivamente esta operação até que consiga uma precisão satisfatória. Lê-se os algarismos separados de cima para baixo. Veja o exemplo:

0,6 → Xb 0,6 → Xo (exercício)

0,6 x 2 = 1,2
menos a parte inteira (1) = 0,2
vezes 2  = 0,4
menos a parte inteira (0) = 0,4
vezes 2 = 0,8
menos a parte inteira (0) = 0,8
vezes 2 = 1,6
menos a parte inteira (1) = 0,6
vezes 2 = 1,2
menos a parte inteira (1) = 0,2  

e assim por diante

Lendo de cima para baixo teremos 10011, então 0,6d=10011b.

Se fizermos uma conferência, descobriremos que 0,10011b é igual a:

1 x 2^-1 + 0 x 2^-2 + 0 x 2^-3 + 1 x 2^-4 + 1 x 2^-5
= 1/2 + 1/16 + 1/32 
= 19/32 
= 0,59375

portanto, como podemos perceber, teremos sempre diferenças de precisão entre bases.

Outro exemplo:

Exercícios :

transforme os números decimais 0,5; 0,2; 0,25; 0,8 e 0,99 em números binários.

---

Binário, Octal, Hexadecimal → Decimal

Este processo serve para converter qualquer base para a base decimal.

O processo deriva da notação posicional comum a todos os sistemas de numeração que utilizam ordens. Tomemos como exemplo o número real:

 XYZ,WKb

onde X, Y ,Z, W e K são algarismos da base “b” e Z é o algarismo da 1a. ordem, Y da 2a. e X da terceira ordem da parte inteira.

W e K são algarismos das ordens fracionárias. Podemos dizer que cada um destes algarismos é multiplicado por um peso que depende da posição em que se encontra e da base em que esta expresso o número. Assim, os pesos dos sistemas numéricos ordenados serão sempre:

... b^4 b^3 b^2 b^1 b^0, b^-1 b^-2 b^-3 b^-4 …

e o no. genérico acima será:

X .b^2 + Y .b^1 + Z .b^0 + W .b^-1 + K .b^-2

com b^0= 1. Os exemplos práticos a seguir tornam isto mais claro.

Exemplo 1

 Pesos das posições   6  5  4  3  2  1  0  -1  -2  -3  -4  -5
                      1  0  1  1  0  1  1,  1   0   0   1   1b    →  Xd

1x2^6 +0x2^5 +1x2^4 +1x2^3 +0x2^2 +1x2^1 +1x2^0 +1x2^-1 +0x2^-2 +0x2^-3 +1x2^-4 +1x2^-5 =
 64 + 0 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 + 1/2 + 0 + 0 + 1/16 + 1/32 
 = 91,59375 ou  → 91,610

Exemplo 2

13A,Ch →  Xd

na base 16, A=10 e C=12, então:

1x16^2 + 3x16^1 + 10x16^0 + 12x16^-1 
= 256 + 48 + 10 + 12/16 
=314,7510

Exemplo 3

 265,41o  →  Xd
=  2x8^2 + 6x8^1 + 5x8^0 + 4x8^-1 + 1x8^-2
= 128 + 48 + 5 + 4/8 + 1/64 

→ 181,5156310

Conversão entre bases binária, octal e hexadecimal

Sendo 2, 8 e 16 potências de 2, as conversões entre os sistemas binário, octal e hexadecimal são imediatas, como se poderá ver.

Binário → octal

8=2³

separa-se o número binário em grupos de 3 algarismos, e transforma cada grupo diretamente p/ a base 8

Ex: 10110101b para a base oito

10 110 101b

10b = 2o;  110b=6o; 101b= 5o; 
→ 265o

Para aprender mais: [Vídeo-aula sobre conversão Binário → Octal]

Binário → Hexadecimal

16=2^4

separa-se o número binário em grupos de 4 algarismos e transforma-os diretamente p/ a base 16

Ex: 1011.0101b

1011 0101b

1011b = 11d = Bh;  0101b = 5h
→ B5h

Para saber mais: [Vídeo-aula sobre Conversão de binário para Hexadecimal]

Octal → binário

Cada algarismo octal gera a mesma grandeza em um grupo de 3 algarismos binários

724o → Xb

7 = 111b
2 = 010b
4 = 100b

→ 111010100b

Hexa → binário

Cada algarismo hexadecimal gera a mesma grandeza em um grupo de 4 algarismos binários

BF1h → Xb

B = 11d = 1011b
F = 15d = 1111b
1 = 01d = 0001b

→ 1011.1111.0001b

A conversão de um número X na base genérica b1 para um em outra base b2 é efetuada através da conversão do primeiro número Xb1 para a base 10 e da base 10 para a base b2.

Exercícios Resolvidos

Calcule os valores decimais na base binária

1. 11b = 1.2 + 1.1 = 2 + 1 = 3d
2. 111b = 1.4 + 1.2 + 1.1 = 4 + 2 + 1 = 7d
3. 1010b = 1.8 + 0.4 + 1.2 + 0.1 = 8 + 2 = 10d
4. 1001b = 1.8 + 0.4 + 0.2 + 1.1 = 8 + 1 = 9d
5. 11011b = 1.16 + 1.8 + 0.4 + 1.2 + 1.1 = 16 + 8 + 2 + 1 = 27d
6. 1100000b = 1.64 + 1.32 = 96d
7. 10111000b = 128 + 32 + 16 + 8 = 184d
8. 10000000001b = 1.024 + 1 = 1.025d

Exercícios propostos

1. 1990d → Xb
2. 10101010b → Xd, Xo, Xh
3. AB2,Ch → Xd, Xb
4. 40,2510 → Xh
5. 54o → X9
6. F8h → X4
7. 110111b + 72o → Xd
8. F8h - 26o → Xd
9. 20três+ 40cinco → Xd
10. 27d - 110b → Xh
11. 100b x 14h → Xd

Definições

Antes de passarmos aos códigos, é necessário conceituarmos alguns vocábulos doravante utilizados.

bit (pron. bit) → O vocábulo surgiu da contração abreviada de “binary digit” do inglês e representa os valores possíveis que uma variável lógica ( binária) pode assumir, 0 e 1

byte (pron. ba’it) → grupo ou palavra de 8 bits (ex: 010111010)

nybble (pron. ni’bôu) → grupo ou palavra de 4 bits (ex: 0111)

word: palavra (pron. uô.rd) → Palavra é qualquer conjunto de bits que contém ou representa um item de informação

Ex: Se 01 faz com que um sistema gire um motor em um sentido, 10 gira-o noutro sentido e 00 desliga o motor, então 01,10 e 00 são palavras porque carregam em si uma “informação”.

Exercícios dados em aula

1. Converta os valores abaixo para a base decimal:
   1. 100b
   2. 1100b
   3. 10100b
   4. 1001011b
   5. 13o
   6. 270o
   7. A4h
   8. 2E1h
2. Converta os valores abaixo para a base binária:
   1. 73d
   2. 145d
   3. 4102d
   4. 34,45d
   5. 53o
   6. 20164o
   7. 4Fh
   8. 8ABD2061h

Respostas Lista 1 Exercícios Sistemas Numéricos

Fontes

CAMARA, Rômulo Calado Pantaleão. "Sistema de Numeração e Conversão entre Sistemas". Disciplina Eletrônica Digital. Universidade Federal do Vale do São Francisco - UNIVASF Colegiado de Engenharia da Computação – CECOMP.

de MENEZES JR., José Maria P. "Circuitos Digitais" Curso de Engenharia Elétrica. Universidade Federal do Piauí.

PINHEIRO. Sérgio P. F. "Conversão entre diferentes bases de Numeração". Guia de exercícios - Módulo de ARQUITECTURA DE SISTEMAS COMPUTACIONAIS. Instituto Politécnico da Guarda.

SCHNEIDER JR. B. "Apostila de Sistemas Numéricos". Universidade Tecnológica Federal do Paraná.

SENAI Espírito Santo. "Eletrônica Digital". Curso de Eletrotécnica Básica – Instrumentação. Companhia Siderúrgica de Tubarão.

VARGAS, Fabian. "Apostila". Disciplina: Lógica Computacional Aplicada. Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul. Faculdade de Engenharia.

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